Die Menge IR der reellen Zahlen ist ein Menge mit gewissen Verknüpfungen und Eigenschaften. Alle notwendigen Eigenschaften der reellen Zahlen sind im Folgenden axiomatisch durch drei Gruppen von Axiomen festgelegt:
Körperaxiome
Auf der Menge IR sind zwei Verknüpfungen definiert.
Es gibt eine Addition +, die je zwei reellen Zahlen a,b eindeutig eine reelle Zahl a + b zuordnet.
Es gibt eine Multiplikation ·, die je zwei reellen Zahlen eindeutig eine reelle Zahl a·b (kurz ab) zuordnet.
+ und · erfüllen die folgenden Eigenschaften:
[K1] Kommutativgesetze
a + b = b + a und ab = ba
[K2] Assoziativgesetze
a + (b + c) = (a + b) + c und a(bc) = (ab)c
[K3] Distributivgesetz
a(b + c) = ab + ac
[K4] Existenz neutraler Elemente
Es gibt reelle Zahlen 0 und 1 mit 0 ≠ 1 und a + 0 = a sowie a·1 = a.
[K5] Existenz inverser Elemente
Zu jeder reellen Zahl a gibt es eine reelle Zahl -a, sodass a + (-a) = 0 und zu jeder reellen Zahl b ≠ 0 gibt es eine reelle Zahl b-1, sodass b·b-1 = 1.
Ordnungsaxiome
In IR gibt es eine Beziehung „kleiner als“ < aus der hervorgeht, ob a < b wahr ist.
Schreibt man a > b („größer als“), so meint man b < a.
Reelle Zahlen a mit a < 0 heißen negativ.
Reelle Zahlen a mit a > 0 heißen positiv.
IR+ ist die Menge der positiven reellen Zahlen.
Es gilt:
[O1] Trichotomiegesetz
Sind a,b reelle Zahlen, dann ist genau eine der Beziehungen wahr: a < b oder a = b oder a > b.
[O2] Transitivitätsgesetz
Ist a < b und b < c, dann ist auch a < c.
[O3] Monotoniegesetz
Ist a < b, dann ist für jedes c auch a + c < b + c und für jedes d > 0 auch ad < bd.
Mit a ≤ b („kleiner gleich“) meint man a < b oder a = b.
Mit a ≥ b („größer gleich“) meint man a > b oder a = b.
Schnittaxiom / Ordnungsvollständigkeitsaxiom
Sind A, B nichtleere Teilmengen der reellen Zahlen mit A ∪ B = IR und
a < b für jedes a aus A und jedes b aus B, so spricht man von einem Dedekindschen Schnitt (A|B).
Gibt es zu einem solchen Schnitt (A|B) eine Zahl t mit a ≤ t ≤ b für jedes a aus A und jedes b aus B, son nennt man t eine Trennungszahl von (A|B).
Es gilt:
[S1] Jeder Dedekindsche Schnitt besitzt genau eine Trennungszahl.
Die Axiome [K1], … , [K5], [O1], [O2], [O3], [S1] drückt man auch kurz durch folgende (äquivalente) Formulierungen aus:
Die Menge IR der reellen Zahlen ist ein ordnungsvollständiger
Körper.
IR bildet mit + und · einen Körper, der geordnet und vollständig ist.
Weitere Vereinbarungen für reelle Zahlen
a – b := a + (-b)
a/b := a·b-1
a + b + c := a + (b + c)
abc := a(bc)
an = a·…·a (n Faktoren a, für n=2,3,4,…)
Die folgenden Zahlenmengen sowie endlichen und unendlichen Intervalle sind allesamt Teilmengen der reellen Zahlen:
Zahlenmengen
| Natürliche Zahlen | IN = {1, 2, 3, 4, …} |
| Natürliche Zahlen mit Null | IN0 = IN ∪ {0} |
| Ganze Zahlen | IZ = {0, ±1, ±2, …} |
| Rationale Zahlen | IQ = {z/n | z ∈ IZ und n ∈ IN} |
| Positive reelle Zahlen | IR+ = { x | x > 0 } |
| Negative reelle Zahlen | IR– = { x | x < 0 } |
Intervalle
| abgeschlossene Intervalle | [a,b] = { x | a ≤ x ≤ b } |
| linkshalboffene Intervalle | ]a,b] = { x | a < x ≤ b } ]-∞,b] = { x | -∞ < x ≤ b } |
| rechtshalboffene Intervalle | [a,b[ = { x | a ≤ x < b } [a,∞[ = { x | a ≤ x < ∞ } |
| offene Intervalle | ]a,b[ = { x | a < x < b } ]-∞,b[ = { x | -∞ < x < b } ]a,∞[ = { x | a < x < ∞ } ]-∞,∞[ = { x | -∞ < x < ∞ } = IR |